Read More

RUANG VEKTOR DAN SUBRUANG VEKTOR

RUANG VEKTOR

Definisi:

Misalkan (F,+,.) merupakan field. Himpunan V disebut ruang vektor atas field F, jika V adalah grup abelian di bawah operasi +, dan jika untuk setiap aÎF, uÎV, didefinisikan elemen au, sedemikian sehingga:

1.       a(u+v)= au+av, untuk semua aÎF, u,vÎV

2.       (a+b)u=au+bu, untuk semua a,bÎF, uÎV

3.       a(bu)=(ab)u, untuk semua a,bÎF, uÎV

4.       1.u=u.1=u; elemen 1 adalah elemen kesatuan multiplikatif dalam F.

Jika fieldnya adalah R, maka V dikatakan ruang vektor riil. Jika fieldnya Q, maka V adalah ruang vektor rasional. Jika fieldnya C, maka V disebut ruang vektor kompleks.

Sifat-sifat Ruang Vektor:

·              a.0=0 untuk aÎF, 0ÎV

·              0v=0, untuk 0ÎF, vÎV

·              a(-v)=(-v)a= -(av), untuk aÎF, vÎV

·              a(u-v)=au-av untuk aÎF, u,vÎV

·              Jika av=0 maka a=0 atau v=0, untuk aÎF, vÎV

·              Jika av=bv, maka a=b untuk a,bÎF dan vÎV, v¹0

·              Jika au=av, maka u-v untuk aÎF, a¹0, dan u,vÎV

Contoh-contoh:

·              Himpunan semua vektor bidang atas field bilangan riil merupakan ruang vektor.

·              R=himpunan bilangan riil. R merupakan field atas R sendiri.

SUBRUANG VEKTOR (SUBSPACE)

Definisi:

Misalkan V ruang vektor atas field F. Suatu subset W takkosong dari V disebut subruang vektor dari V jika di bawah operasi-operasi di V, W sendiri merupakan ruang vektor atas field F.

Atau:

W adalah subruang vektor dari V, jika untuk sembarang w₁,w₂ÎW dan a,bÎF, berlaku: aw₁+bw₂ Î W.

Beberapa Teorema:

·              Irisan dua subspace sembarang juga merupakan subspace atas field yang sama.

·              Gabungan dua subspace merupakan subspace lagi jika yang satu terkandung dalam yang lain.

Contoh-contoh:

·              W={(a,b,0) / a,bÎR} merupakan subspace dari ruang vektor berdimensi tiga.

·              W={(x,2y,3z) / x,y,zÎR} merupakan subspace dari ruang vektor berdimensi tiga.

Read More

Matematika, siapa takut?

Matematika Kumon Sebenarnya nama Kumon adalah nama keluarga penemu metode belajar matematika, Toru Kumon. Guru matematika SMU di Jepang itu pada tahun 1954 pertama kali menyusun sendiri bahan pelajaran matematika untuk membimbing anaknya belajar matematika. Setelah terbukti memberi hasil memuaskan pada anaknya dan juga anak didik dan tetangga dekatnya, ia pun ingin menerapkan cara belajar dan bahan pelajaran ini kepada sebanyak mungkin anak. Tak heran dengan sifatnya yang universal, kini Metode Kumon telah dapat diterapkan di 40 negara, termasuk Indonesia.
Prinsip dasar metode yang disebarluaskan ke Indonesia pada Oktober 1993 ini adalah pengakuan tentang potensi dan kemampuan individual tiap siswa. “Maka, seseorang yang mendaftar kursus Kumon harus mengikuti tes penempatan,” tutur Suita Sary Halim, pimpinan penyelenggara kursus Kumon. Tes penempatan itu untuk mengetahui titik pangkal siswa, supaya siswa dapat mengerjakan bahan pelajaran sesuai dengan kemampuannya. Tak heran bila soal itu biasanya bisa selesai dalam batas waktu tertentu, biasanya hanya dalam hitungan menit.
Setelah itu, ia akan terus berlatih mengerjakan soal-soal latihan sesuai kemampuan, daya konsentrasi dan ketangkasan, bukan berdasar tingkat kelas formal atau usia siswa saja. Siswa SD kelas II bisa saja menghadapi soal latihan untuk SD kelas I, “Karena mungkin yang ia kuasai benar baru pelajaran di kelas I,” ujar Suita.
Sebagai contoh, mungkin saja ada siswa SD kelas II yang harus belajar penambahan yang termudah. Misalnya, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, 4 + 1 = 5, 5 + 1 = 6, dst. Namun begitu jangan dianggap enteng karena ia harus menyelesaikan sebanyak 50 soal hitungan serupa hanya dalam waktu 2 menit. Latihan itu dilakukan berulang kali, sampai ia menguasai dan mampu di luar kepala menjawab soal serupa. Selanjutnya, ia akan meningkat ke bagian berikut, namun dengan tingkat perbedaan kesulitan yang sangat kecil, misalnya 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, dan seterusnya.
Maka jangan kaget bila dalam kelas bisa ditemukan siswa dalam berbagai tingkat usia. Begitu pun, beberapa siswa yang duduk di tingkat kelas yang sama tidak berarti akan memulai mengerjakan soal latihan yang sama pula. “Kembali lagi karena masalah potensi dan kemampuan yang berbeda dari tiap siswa. Maka yang diterapkan adalah belajar perseorangan,” tutur Suita sambil menambahkan tiap siswa Kumon mendapat bahan pelajaran yang berbeda dengan siswa lainnya, baik jumlah lembar kerja maupun tingkat bahan pelajarannya.
Karena mulai belajar dari bagian yang tepat, dalam arti sesuai dengan kemampuannya, dan program dibuat secara perseorangan, siswa tidak akan menemui kesulitan belajar. Yang muncul justru perasaan senang belajar matematika. Penyebab yang lain karena di lembaga ini tidak tertutup kemungkinan untuk merevisi dan mengembangkan bahan pelajaran agar anak-anak tidak mengalami kesulitan dalam belajar dan tidak kehilangan semangat belajarnya. Selain itu prestasi antara satu siswa dengan yang lain tidak dibanding-bandingkan, sehingga kalaupun ada yang agak lambat mencapai kemajuan tidak akan merasa kecil hati dan putus asa.
Uniknya, berkat metode yang mengunggulkan kemampuan dan semangat belajar perseorangan itu, biasanya setelah 6 bulan – 1 tahun, siswa sudah bisa mencapai tingkat pelajaran di sekolahnya, setelah itu melampauinya.
Kemajuan dari hasil belajar siswa Kumon memang sangat bervariasi. Ada siswa yang menyelesaikan seluruh bahan pelajaran Metode Kumon, hingga level Q mengenai probabilitas dan statistika, dalam waktu 2 tahun 10 bulan. “Namun, sekecil apa pun kemajuannya, kami akan selalu mengakui setiap hasil yang telah mereka capai dan menunjukkan jalan agar pada diri setiap anak timbul rasa percaya diri dan keberanian,” ujar Suita sambil menambahkan pada umumnya prestasi siswa sesudah mengikuti kursus metode ini meningkat, terutama dari segi akademis.
Disiplin berlatih
Kumon menilai kunci keberhasilan belajar matematika adalah dengan banyak berlatih. Tak heran bila selama belajar dengan Metode Kumon siswa akan mendapat banyak porsi latihan. Dalam tiap satuan lembar kerja terdapat puluhan soal, sehingga untuk satu materi bahasan ia akan mengerjakan hingga ratusan soal latihan. Maka, untuk menyelesaikan seluruh topik bahasan, bila ia jadi siswa sejak tingkat pertama, jumlah soal latihan yang dikerjakannya tentu mencapai puluhan ribu!
Di Kumon, menurut Suita, siswa yang sudah punya kemampuan cukup yang bisa maju ke tingkat lebih tinggi. Bagi yang belum cukup akan terus mendapat pengulangan, sehingga nantinya ia tidak mendapat kesulitan saat mengerjakan bahan pelajaran yang lebih tinggi.
Selain itu Kumon memberlakukan sistem nilai 100, artinya tiap latihan harus benar dikerjakan semua sebelum bisa berganti lembar pelajaran. Siswa yang melakukan kesalahan harus memperbaiki sendiri sampai mendapat nilai 100. Cara ini dinilai efektif agar siswa tidak lagi melakukan kesalahan yang sama.
Namun, kenaikan tingkat sering kali tidak terasa. Ini karena perubahan bahan pelajaran dibuat sedemikian kecil, bahkan halus dan sistematis. Bahan pelajaran meningkat seiring dengan kemampuan penalaran sendiri, jarang sekali ia harus minta bantuan pembimbing. Cara ini akan membentuk kebiasaan belajar mandiri yang berguna untuk menggali potensi diri-sendiri.
Selain materi pelajaran, waktu belajar siswa pun digodok matang. Siswa umumnya datang ke kelas 2 kali seminggu dengan waktu belajar rata-rata 30 menit, tergantung tingkat bahan pelajarannya. “Namun, di luar hari kelas, mereka mendapat PR dengan jumlah yang tepat sesuai kemampuannya setiap hari,” ujar Dani Wulansari, staf lembaga Metode Kumon.
Semua cara belajar itu diterapkan pada seluruh peserta kursus tanpa memandang usia, karena Kumon memang bisa diikuti oleh siswa pada usia berapa pun. “Pendaftarannya pun terbuka setiap saat,” ujar Dani sambil menambahkan sebaiknya siswa mempelajari metode ini sejak usia dini, karena hasilnya tentu akan lebih memuaskan. Yang terutama dirasakan adalah kemampuan berpikir matematis akibat latihan mengkoordinasikan angka-angka menggunakan otak dan tangan. Khususnya latihan hitungan dengan Metode Kumon akan terasa sangat membantu untuk mengenal matematika tingkat SMP dan SMA, sehingga ia akan dengan mudah mengerjakan soal-soal persamaan, pemfaktoran, juga diferensial dan integral.
Dengan demikian, Metode Kumon bukan hanya meningkatkan penguasaan matematika, tapi juga berbagai kemampuan belajar pada anak, mulai dari konsentrasi dan ketangkasan kerja, semangat kebiasaan belajar mandiri, kebiasaan belajar setiap hari. Bila ia bisa menyelesaikan soal latihan matematika dari sekolah dengan cepat, maka ia bisa menggunakan sisa waktu untuk mempelajari ilmu lain. Alhasil, pelajaran lain pun pasti akan meningkat.

( PPPPTK )

Read More

MENCIPTAKAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA YANG KREATIF DAN MENYENANGKAN

 

A. Pendahuluan

Anak dari berbagai usia berfikir sesuai dengan tingkat usianya. Matematika adalah subjek ideal yang mampu mengembangkan proses berfikir anak dimulai dari usia dini, usia pendidikan kelas awal (pendidikan dasar), pendidikan menengah, pendidikan lajutan dan bahkan sampai mereka berada di bangku perkuliahan. Hal ini diberikan untuk mengetahui dan memakai prinsip matematika dalam kehidupan sehari-hari baik itu mengenai perhitungan, pengerjaan soal, pemecahan masalah kehidupan di lingkungan sekolah ataupun di lingkungan masyarakat.

Khusus untuk anak-anak atau siswa pendidikan kelas awal atau pendidikan dasar (SD), matematika sangat berguna sekali bagi mereka untuk mengembangkan proses berfikir mereka mulai dari hal-hal yang sederhana samapi kepada hal-hal yang rumit.
Tahapan dimana anak-anak atau siswa Sekolah Dasar sudah bisa mempraktekkan matematika dalam kehidupan sehari-hari tentulah ditunjang oleh berbagai cara serta metode pembelajaran yang menyenangkan bagi anak-anak Sekolah Dasar. Hal ini sesuai dengan tingkat perkembangan anak kelas awal awa SD yang cenderung bermain sambil belajar.
Kemajuan yang pesat dalam bidang teknologi dan informatika, telah memudahkan siswa dalam menggunakan TI tersebut untuk keperluan membantu siswa untuk menyelesaikan berbagai masalah perhitungan dan cara-cara baru yang diperkenalkan. Dan hampir setiap tingkat terjadi perubahan yang signifikan yang mengharuskan anak-anak perlu pengembangan keahlian baru.
Tidak bisa dipungkiri, siapapun akan bangga jika punya anak pintar matematika atau paling tidak nilai matematikanya selalu bagus. Sehingga orang tuapun tidak segan-segan untuk memberikan atau mengikutkan anak-anak mereka les tambahan untuk mata pelajaran matematika dengan harapan anak-anak mereka mendapatkan nilai yang bagus.
Pada hal nilai bagus yang didapatkan oleh anak-anak mereka dalam berhitung saja tidak cukup kalau tidak bisa menganalisis atau merubah dari soal cerita ke bahasa matematika dan mengembalikan lagi ke dalam soal cerita atau kalau tidak bisa menggunakan matematika dalam kehidupan sehari-hari (Problem Solving).
Mengacu kepada permasalahan di atas, maka tidak jarang anak-anak yang bagus nilainya di kelas awal akan mengalami kesulitan atau turun nilainya pada tahap kelas tinggi, menengah, atas dan kuliah, serta yang lebih mengkhawatirkan pada tingkat lingkungan masyarakat ataupun kehidupan yang dilaluinya. Dengan kata lain mereka akan mengalami hambatan di dalam kehidupan social.
Matematika merupakan cabang mata pelajaran yang luas cakupannya dan bukan hanya sekedar bisa berhitung atau masukin rumus saja tetapi mencakup beberapa kompetensi yang menjadikan siswa tersebut dapat memahami dan mengerti tentang konsep dasar matematika.
Belajar matematika juga membutuhkan kemampuan bahasa, untuk bisa mengerti soal-soal atau mengerti logika, juga imajinasi dan kreativitas. Dan sekiranya dipergunakan dalam lingkungan sekolah , yaitu antara guru dan siswa maka kuncinya adalah mengambil contoh dalam hidup sehari-hari dan dibuat semenarik mungkin.
Pada kenyataannya diperkirakan banyak dari siswa pendidikan sekolah dasar atau kelas awal SD masih mementingkan ”Mahir dalam perkerjaan penghitungan dan masukin rumus saja”. Kenapa hal ini bisa terjadi? Kesalahan siapakah?
Untuk mengungkap hal ini akan dilakukan pembahasan mengenai pertanyaan-pertanyaan di atas dan akan diberikan beberapa solusi ataupun saran untuk menghindari pembelajaran matematika yang kurang mencapai tujuan yang diharapkan.
B. Pembahasan
1. Peranan dan Kemampuan Guru
Menurut Turney dalam E. Mulyasa (2007:69) untuk menciptakan pembelajaran yang kratif, dan menyenangkan, diperlukan berbagai keterampilan diantaranya adalah keterampilan membelajarkan atau keterampilan mengajar. Keterampilan mengajar merupakan kompetensi professional yang cukup kompleks, sebagai integrasi dari berbagai kompetensi guru secara utuh dan menyeluruh. Ada delapan keterampilan mengajar yang sangat berperan dan menentukan kualitas pembelajaran, yaitu keterampilan bertanya, memberi penguatan, mengadakan variasi, menjelaskan, membuka dan menutup pelajaran, membimbing diskusi kelompok kecil, mengelola kelas, serta mengajar kelompok kecil atau perorangan. Penguasaan terhadap keterampilan mengajar tersebut harus untuh dan terintegrasi.
Pada segi lain seorang guru harus mempunyai pendekatan dan metode pembelajaran yang akan dilaksanakan dan memilih metode-metode pembelajaran yang efektif serta berusaha memberikan variasi dalam metode pembelajaran agar tidak kelihatan atau menyebabkan siswa atau peserta didik jenuh. Jika hal ini diterapkan, maka dituntut sekali inisiatif guru untuk melakukan variasi dan krativitas guru.
Guru merupakan seorang figur yang menjadi tauladan dan pedoman bagi siswa dalam bidang pendidikan dan pengajaran. Guru merupakan nara sumber yang akan memberikan dan menciptakan pembelajaran yang kreatif dan menyenangkan bagi siswa, terutama sekali dalam hal pemahaman dan penyelesaian mata pelajaran matematika. Tetapi hal tersebut kemungkinan besar tidak sampai pada tahap yang diharapkan.
Pada teori ataupun pendekatan konstruktivis siswa lebih dominan dalam menentukan atau menemukan sendiri pemahaman tentang konsep pembelajaran itu sendiri. Hal ini juga berlaku pada mata pelajaran matematika. Mereka bisa mengerjakan dan menyelesaikan serta memecahkan sendiri persoalan matematika, baik yang berupa perhitungan ataupun persoalan yang terjadi sehari-hari. Kegiatan ini tidak akan ada artinya tanpa peranan dan kemampuan guru untuk mengarahkan dan melakukan pendekatan-pendekatan konstrukstivis dalam membelajarkan siswa.
Pada pendekatan kontekstual (CTL: contextual teaching and learning)juga dinyatakan bahwa CTL merupakan konsep pembelajaran yang menekankan kepada keterkaitan antara materi pelajaran dengan dunia kehidupan peserta didik secara nyata. E. Mulyasa (2007:102). Berdasarkan pernyataan yang dikemukakan tersebut sangat jelas bahwa guru dituntut untuk lebih mengenalkan siswa pada kehidupan nyata mereka. Jika kita masukkan ke dalam pembelajaran matematika kepas awal SD, maka segala macam bentuk persoalan yang akan diberikan kepada siswa harus menggambarkan persoalan yang ditemui sehari-hari atau dengan kata lain yang berdekatan dengan pengalaman empiris peserta didik di lapangan. Jadi dengan adanya kegiatan pembelajaran yang mengaitkan langsung dengan kehidupan nyata peserta didik akan dengan mudah dipahami dan dimengerti oleh peserta didik itu sendiri.

2. Peranan Orang Tua
Dalam menyingkapi perkembangan dan kreativitas peserta didik dan permasalahan yang terjadi di lapangan terhadap mata pelajaran matematika, maka orang tua mempunyai peranan yang tak kalah penting jika dibandingkan dengan guru. Hal yang dikhawatirkan akan melemahkan peserta didik dalam memahami persoalan-persoalan matematika maupun pemecahan masalah dalam kehidupan sehari-hari juga menjadi tugas dari orang tua.
Orang tua juga merupakan panutan bagi peserta didik dalam membantu mereka memecahkan persoalan-persoalan mereka sehari-hari. Jadi sudah seharusnya sebagai orang tua memantau dan menjajaki perkembangan anak dalam hal penguasaan materi pelajaran di sekolah terutama pelajaran matematika. Dengan menyediakan waktu bersama anak dalam menyelesaikan soal-soal matematika yang sudah dipelajari anak di bangku sekolah dan memberikan pengertian terhadap matematika baik itu dalam mengerjakan hitungan dan rumus yang dipakai serta memberikan pemahaman atau perbandingan dengan kehidupan sehari-hari yang disukai anak.
Dorongan dan motivasi kepada anak sangat diperlukan untuk memberikan kepercayaan dan keyakinan kepada mereka untuk mengetahui dan memahami persoalan matematika yang diberikan dan anak-anak akan mampu untuk mengerjakan dan sekaligus memahami persoalan tersebut dan berusaha mencari pemecahannya sendiri
Pada permasalahan penghitungan bisa dikatakan bahwa siswa dapat menguasainya bahkan untuk penghitungan besar sekalipun, karena disamping mendapat pengajaran dan didikan dari guru para orang tua murid memberikan tambahan pendidikan di luar sekolah seperti halnya les matematika.
3. Masalah yang Muncul
Melihat gejala yang ada di masyarakat dan permasalahan yang ditemui di lapangan dapat dikatakan bahwa pendidik selaku orang yang menjadi tauladan ataupun pedoman bagi siswa yang akan memberikan semua solusi pemecahan masalah (problem solving) baik itu dalam hal penghitungan matematika maupun pemecahan masalah yang nantinya akan di hadapi siswa di luar lingkungan sekolah seperti lingkungan masyarakat Cuma harapan semata. Hal yang banyak ditemui di lapangan adalah “Siswa hanya mahir dalam hal hitungan dan tidak bisa menerapkan ilmunya pada kehidupan sehari-hari dan hanya dipaksakan untuk mengerjakan sesuatu sesuai dengan rumus yang mereka dapatkan”.
Jika hal tersebut di atas terus berlangsung, maka siswa pada tahapan beberapa tahun nanti akan menjadi lemah dalam menjalani kehidupannya sehari-hari yang terus berhubungan dengan persoalan-persoalan kehidupan yang harus dicari pemecahannya secara sempurna dan menuntut adanya logika dan kreativitas siswa itu sendiri. Dan hal yang paling mengkawatirkan adalah mereka akan menjadi orang yang hanya menjalankan apa yang ada, bukan menciptakan ataupun berinisiatif untuk menciptakan hal-hal baru.
Prof.Dr.Maman A Djauhari Guru Besar ITB mengemukakan: “Lemahnya pendidikan matematika di Indonesia merupakan akibat tidak diajarkannya filsafat atau latar belakang ilmu matematika. Dampaknya siswa pandai mengerjakan soal, tetapi tidak bisa memberikan makna dari soal itu. Matematika hanya diartikan sebagai persoalan hitung-hitungan yang siap untuk diselesaikan atau dicari jawabannya”. Akibat dari semua itu anak-anak atau siswa tidak mampu memberikan penjelasan atau interpretasi terhadap soal dalam matematika. Pada hal kita tahu bahwa matematika adalah interpretasi manusia terhadap fenomena alam. Hal ini berhubungan erat dengan langkah-langkah yang dilakukan para guru ataupun pendidik dalam membelajarkan matematika kepada siswa supaya menjelaskan atau melengkapi dengan berbagai penjelasan dan latar belakang terhadap sebuah rumus yang telah diyakini itu sebagai sebuah pengetahuan filsafat.
4. Usaha yang Dapat Dilakukan
Untuk membantu siswa dalam memahami dan memperkuat kemampuan berpikir secara matematis dalam lingkungan sekolah dan lingkungan masyarakat serta kehidupan sehari-hari diantaranya mengembangkan konsep peserta didik sebagai dasar kemampuan dalam pengembangan dan penemuan konsep-konsep lain yang lebih rumit, menurut Linda Jensen dan Douglas E Comicshank (1996: ) mengemukakan ada empat proses berfikir yaitu Observing and infering: memotivasi anak untuk menjelaskan objek, baik secara lisan, secara tulisan maupun gambar, Comparing: meminta anak untuk mencatat kemiripan dan perbedaan, Classifying: meminta anak untuk menilai suatu objek berdasarkan satu atribut atau lebih, Sequensing: meminta anak mengurutkan unsur-unsur dalam himpunan berdasarkan satu karakteristik atau lebih yang diberikan.
Keahlian anak harus dievaluasi dan diidentifikasi dengan terus memperhatikan tingkat perkembangan kemampuan anak-anak. Gaya belajar anak juga harus diperhatikan ketika hendak merencanakan sebuah pembelajaran.
Pada bagian lain juga dikemukakan beberapa langkah yang harus diperhatikan dalam membelajarkan matematika kepada siswa, antara lain:
1.Beri inspirasi
Beberapa anak-anak atau siswa tidak menyukai matematika karena tidak tahu intinya. Tidak seperti membaca atau menggambar, symbol matematika dan bilangan seperti tidak punya arti. Tunjukkan betapa pentingnya matematika dalam kehidupan sehari-hari atau di dunia nyata. Ceritakan penemuan-penemuan penting mulai dari piramida di Mesir, sampai ke Mars, tidak ada yang bisa dicapai tanpa metematika, dan matematikawan.
2. Beri contoh nyata
Ajak anak-anak atau siswa dalam matematika nyata lepas dari sekolah. Temukan sesuatu yang menarik bagi anak dan hubungkan dengan matematika. Misalnya, jika mereka suka basket/sepak bola, selama pertandingan, Tanya amereka berapa point tim yang kalah harus dapatkan untuk memenangkan pertandingan. Dan berapa banyak pertandingan yang mereka butuhkan untuk menang sampai mereka dapat point cukup untuk memenangkan liga? Jika mereka suka membantu di rumah, ajak mereka mengukur kayu yang harus dipotong, atau menimbang bahan untuk kue. Di took ajak mereka menghitung total harga atau tanyakan berapa kembalian uangnya.
3. Tahap demi tahap
Sukses dalam matematika, seperti juga dalam hidup adalah membagi proyek besar dalam proyek-proyek kecil yang lebih mudah. Tunjukkan keuntungan mengerjakan satu soal dengan membaginya dalam tahap-tahap kecil yang membuat jauh lebih mudah.
4. Dorongan krativitas
Anak-anak atau siswa mungkin merasa “stuck” da;am suatu topic karena mereka hanya melihat dari satu sisi. Mungkin mereka butuh melihat dari sisi lain yang berbeda. Tunjukkan keindahan sudut pandang yang berbeda. Bantu mereka melihat situasi dari perspektif orang lain. Beri mereka kebiasaan untuk eksploring berbagai cara untuk memcahkan masalah. Bahkan sesuatu yang sederhana seperti membereskan kamar bisa punya berbagai solusi.
5. Berpikir positif
Haruskah pernyataan negative seperti, “matematika itu susah” (bahkan jika anda merasa itu susah). Jelaskan bahwa semua orang punya kemampuan untuk mengerjakan matematika dan memecahkan soal-soal matematika tidak berbeda dengan memecahkan masalah-masalah lain . Di atas semua itu, berikan kepercayaan diri kepada anak. Ajarkan bahwa selalu ada solusi untuk semua problem. Kita akan berlaku lebih baik kalau kita menyukai yang kita kerjakan, dan membuat anak tertarik pada matematika.
6. Memberikan asessmen, reward dan refleksi dari proses pembelajaran yang sudah dilakukan. Peserta didik merupakan manusia biasa yang dalam tahap perkembangannya memerlukan sebuah pengakuan diri, penguatan dan penghargaan terhadap apa yang mereka lakukan. Dengan adanya tindakan guru yang memberikan asessmen dan reward, maka mereka merasa senang dan berusaha untuk memperhatikan apa yang diberikan guru kepada mereka. Dari proses tersebut mereka akan merespon dan melakukan inisiatif untuk menciptakan pembelajan yang kreativ. Hal ini merupakan suatu jalan mulus bagi guru untuk terus masuk kepada materi-materi pelajaran sekalipun itu agak sukar bagi mereka untuk mengerjakannya. Tetapi mengarahkan dan memandu dalam mengemukakan apa yang telah mereka pelajari dari awal sampai akhir materi pelajaran lebih penting lagi. Sehingga mereka dapat mengungkapkan apa yang telah mereka pelajari hari ini.

C. Kesimpulan dan Saran
1. Kesimpulan
•Proses berfikir anak perlu dikembangkan terutama dikelas matematika, karena hal ini penting.
•Anak perlu diberi dasar kemampuan mengobservasi, membandingkan, mengelompokkan, dan mengurutkan benda.
•Program komputer untuk pengembangan konsep juga sangat berguna dalam mengembangkan kemampuan matematis.
•Kemampuan anak harus dievaluasi dan diidentifikasi dengan terus memperhatikan tingkat perkembangannya. Gaya belajar anak juga harus diperhatikan ketika hendak merencanakan sebuah pembelajaran.

2. Saran

•Diharapkan dengan adanya pembahasan dalam makalah ini supaya guru-guru khususnya pada guru bidang studi matematika menyadari dan dapat mengambil suatu tindakan ataupun menjadikan sebagai acuan dalam membelajarkan matematika di kelas awal SD.
•Diharapkan guru-guru memberikan kesempatan kepada siswa untuk lebih mengembangkan pemahaman tentang konsep siswa terhadap matematika.
•Diharapkan dengan pembahasan ini dapat menjadi sebagai salah satu upaya dalam pemecahan masalah pembelajaran matematika yang didasarkan pada filsafat dan pemahaman siswa terhadap proses pemecahan masalah dalam kehidupan sehari-hari.
•Diharapkan kepada orang tua agar dapat membantu dalam membelajarkan matematika siswa dengan menerapkan pola fikir matematis dalam kehidupan sehari-hari.
•Diharapkan kepada guru-guru untuk menerapkan beberapa pendekatan dalam pembelajaran agar peserta didik dapat dengan mudah memahami dan mengerti tentang materi pelajaran yang diajarkan.
•Untuk mendapatkan kesusksesan dalam pembelajaran, maka diharapkan kepada guru-guru untuk melakukan variasi dari setiap metode, strategi ataupun pendekatan yang dilakukan dam proses pembelajaran dan membelajarkan peserta didik.
• Diharapkan kepada guru-guru lewat bahasan ini dapat menciptakan pembelajaran matematika yang kreatif dan menyenangkan bagi peserta didik khususnya kelas awal SD.
KEPUSTAKAAN

E. Mulyasa. 2007. Menjadi Guru Profesional, Menciptakan Pembelajaran Kreatif dan Menyenangkan. Bandung. Rosda Karya

Jati Utomo Dwi Hatmoko. Tanpa Filsafat, Pendidikan Matematika Jadi Lemah. http://www.suara pembaruan.com/News/2007/01/12/index.html

Read More

Matriks Satuan

MATRIKS SATUAN
adalah suatu matriks bujur sangkar, yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainya adalah 0.
Notasi : I (Identitas)

I2 =	é 1 0 ù ë 0 1 û	I3 =	é 1 0 1 ù ê 0 1 0 ú ë 0 0 1 û

Sifat AI = IA = A

MATRIKS INVERS
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama dan AB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A^-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B^-1).
Jika A = é a b ù , maka A-1 =     1       = é  d -b ù
Jika A = ë c d û , maka A-1 = ad - bc ttt ë -c  a û

• Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A
  
  
• Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular.
  
  Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular.

Sifat A . A^-1 = A^-1 . A = I
Perluasan
A . B = I    ® A = B^-1      B = A^-1
A . B = C ® A = C . ^B-1   B = A^-1 . C
Sifat-Sifat
1. (A^t)^t = A
2. (A + B)^t = A^t + B^t
3. (A . B)^t = B^t . A^t
4. (A^-t)^-t = A
5. (A . B)^-1 = B^-1 . A^-1
6. A . B = C ® |A| . |B| = |C|

http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0420%20Mat%202-6f.htm (10.45 WIB/ 23-3-2011)

Read More