RUANG VEKTOR DAN SUBRUANG VEKTOR

RUANG VEKTOR

Definisi:

Misalkan (F,+,.) merupakan field. Himpunan V disebut ruang vektor atas field F, jika V adalah grup abelian di bawah operasi +, dan jika untuk setiap aÎF, uÎV, didefinisikan elemen au, sedemikian sehingga:

1.       a(u+v)= au+av, untuk semua aÎF, u,vÎV

2.       (a+b)u=au+bu, untuk semua a,bÎF, uÎV

3.       a(bu)=(ab)u, untuk semua a,bÎF, uÎV

4.       1.u=u.1=u; elemen 1 adalah elemen kesatuan multiplikatif dalam F.

Jika fieldnya adalah R, maka V dikatakan ruang vektor riil. Jika fieldnya Q, maka V adalah ruang vektor rasional. Jika fieldnya C, maka V disebut ruang vektor kompleks.

Sifat-sifat Ruang Vektor:

·              a.0=0 untuk aÎF, 0ÎV

·              0v=0, untuk 0ÎF, vÎV

·              a(-v)=(-v)a= -(av), untuk aÎF, vÎV

·              a(u-v)=au-av untuk aÎF, u,vÎV

·              Jika av=0 maka a=0 atau v=0, untuk aÎF, vÎV

·              Jika av=bv, maka a=b untuk a,bÎF dan vÎV, v¹0

·              Jika au=av, maka u-v untuk aÎF, a¹0, dan u,vÎV

Contoh-contoh:

·              Himpunan semua vektor bidang atas field bilangan riil merupakan ruang vektor.

·              R=himpunan bilangan riil. R merupakan field atas R sendiri.

SUBRUANG VEKTOR (SUBSPACE)

Definisi:

Misalkan V ruang vektor atas field F. Suatu subset W takkosong dari V disebut subruang vektor dari V jika di bawah operasi-operasi di V, W sendiri merupakan ruang vektor atas field F.

Atau:

W adalah subruang vektor dari V, jika untuk sembarang w₁,w₂ÎW dan a,bÎF, berlaku: aw₁+bw₂ Î W.

Beberapa Teorema:

·              Irisan dua subspace sembarang juga merupakan subspace atas field yang sama.

·              Gabungan dua subspace merupakan subspace lagi jika yang satu terkandung dalam yang lain.

Contoh-contoh:

·              W={(a,b,0) / a,bÎR} merupakan subspace dari ruang vektor berdimensi tiga.

·              W={(x,2y,3z) / x,y,zÎR} merupakan subspace dari ruang vektor berdimensi tiga.

Posted in: