RUANG VEKTOR
Definisi:
Misalkan (F,+,.) merupakan field. Himpunan V disebut ruang vektor atas field F, jika V adalah grup abelian di bawah operasi +, dan jika untuk setiap aÎF, uÎV, didefinisikan elemen au, sedemikian sehingga:
1. a(u+v)= au+av, untuk semua aÎF, u,vÎV
2. (a+b)u=au+bu, untuk semua a,bÎF, uÎV
3. a(bu)=(ab)u, untuk semua a,bÎF, uÎV
4. 1.u=u.1=u; elemen 1 adalah elemen kesatuan multiplikatif dalam F.
Jika fieldnya adalah R, maka V dikatakan ruang vektor riil. Jika fieldnya Q, maka V adalah ruang vektor rasional. Jika fieldnya C, maka V disebut ruang vektor kompleks.
Sifat-sifat Ruang Vektor:
· a.0=0 untuk aÎF, 0ÎV
· 0v=0, untuk 0ÎF, vÎV
· a(-v)=(-v)a= -(av), untuk aÎF, vÎV
· a(u-v)=au-av untuk aÎF, u,vÎV
· Jika av=0 maka a=0 atau v=0, untuk aÎF, vÎV
· Jika av=bv, maka a=b untuk a,bÎF dan vÎV, v¹0
· Jika au=av, maka u-v untuk aÎF, a¹0, dan u,vÎV
Contoh-contoh:
· Himpunan semua vektor bidang atas field bilangan riil merupakan ruang vektor.
· R=himpunan bilangan riil. R merupakan field atas R sendiri.
SUBRUANG VEKTOR (SUBSPACE)
Definisi:
Misalkan V ruang vektor atas field F. Suatu subset W takkosong dari V disebut subruang vektor dari V jika di bawah operasi-operasi di V, W sendiri merupakan ruang vektor atas field F.
Atau:
W adalah subruang vektor dari V, jika untuk sembarang w1,w2ÎW dan a,bÎF, berlaku: aw1+bw2 Î W.
Beberapa Teorema:
· Irisan dua subspace sembarang juga merupakan subspace atas field yang sama.
· Gabungan dua subspace merupakan subspace lagi jika yang satu terkandung dalam yang lain.
Contoh-contoh:
· W={(a,b,0) / a,bÎR} merupakan subspace dari ruang vektor berdimensi tiga.
· W={(x,2y,3z) / x,y,zÎR} merupakan subspace dari ruang vektor berdimensi tiga.